矩阵空间、秩1矩阵和小世界图（2019/9/20）
参考课程：MIT线性代数 （Prof. Gilbert Strang ， MIT 18.06）
参考教材：Introduction to Linear Algebra（Third Edition）
课程网址：https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm
Main Content：
- Bases of new vector space(矩阵空间)
- Rank one matrices
- Small world graphs
11.1 一些特别的向量空间
11.1.1 矩阵空间
接着上一节课提到的扩展的“向量空间”（以矩阵为空间元素的“向量空间”）。
考虑这样一个集合$M$,它包含了所有的$3*3$矩阵（$M = all \ 3 \ by \ 3 \ matrices$）,很容易观察到，在这个集合中，矩阵的加法和数乘运算都是封闭的，所以我们可以将$M$视作一个特殊的“向量空间”。
$M$有两个基本的子空间，$33$的对称矩阵$S$（symmetric 3 by 3），上三角矩阵$U$(upper triangular 3 by 3*)。
先来考虑$M$的基，我们很容易得到如下的一组基($dim(M) = 9$)：
$dim(S) = 6, dim(U) = 6$(对于对称矩阵$S$,确定6个元素之后，其余的三个元素也随之确定；矩阵$U$中则只需要考虑6个元素。)
$dim(S)+dim(U) = dim(S+U)+dim(S \bigcap U)$
11.1.2 线性微分方程的解空间
考虑解微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$
我们很容易看出，$y = cosx$和$y=sinx$是上述方程的解。（$e^{ix}$也是该方程的解,不过可以将其看作是$cosx、sinx$的线性组合（考虑复数），$e^{ix} = cosx + sinx,e^{-ix} = cosx-sinx$）。那么，该微分方程的通解都可以由特解$sinx、cosx$来表示，即$c_1cosx+c_2sinx$。
这个问题很类似于零空间的求解，我们可以将上述问题的解看作线性空间中的元素，这些元素满足线性运算的封闭条件，所以我们可以将这些解的集合称为空间。从空间的角度来看这个问题时，$cosx、sinx$就是这个解空间的一组基，他们的线性组合构成了这个微分方程的解空间，其维度为2(二阶导)。
11.2 秩1矩阵
11.2.1 秩1矩阵的介绍
Ex.$A=\left[\begin{matrix}1\quad4\quad5\\2\quad8\quad10\end{matrix}\right]$，在这个矩阵里，行2是行1的2倍，很容易可以看出$rank(A) = 1$,同时根据$dim(C(A)) = rank = dim(C(A^T))$可以得到，其行空间和列空间的维度均为1。我们可以将$A$看作主列*主行得到的矩阵：
这就是秩1矩阵的优点，我们可以很容易地将其分解为一列乘以一行的形式，即$A = UV^T$。
秩1矩阵就像是建造时用的砖块，我们可以用它来搭建其他的矩阵，例如：我们可以用4个秩1矩阵来构成一个秩为4的矩阵。
下面，我们再考虑这样一个问题：
$M$是所有$5*17$的矩阵的集合，它的一个满足秩为4条件的子集，是不是一个子空间呢？显然不是，因为两个秩为4的矩阵相加，很可能得到秩为5的矩阵，不满足对线性运算的封闭。这里补充一条性质：两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵的秩之和，即$R(A+B) \leq R(A)+R(B)$。同理，秩为1的矩阵集合也不能构成一个子空间。
11.2.2 子空间的转化
有如下问题：四维空间中的向量都有四个分量：$v = (v_1, v_2, v_3, v_4)$。设$S$为一个集合，其中的向量都满足$v_1+v_2+v_3+v_4 = 0$，那么$S$是不是一个子空间？如果是的话，它的维数是多少呢？
显然，$S$是一个子空间，因为$v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0$，对加法和数乘都是封闭的，且$S$中一定包含零向量。仔细观察$v_1+v_2+v_3+v_4=0$,我们发现，可以将这条式子看作$[1 \quad 1\quad 1\quad 1] *(v_1, v_2,v_3,v_4) = 0$,此时记$[1 \quad 1\quad 1\quad 1]$为$A$,则有：$Av=0$。那么$S$即为$A = [1\quad 1\quad 1\quad 1]$的零空间。那么，$dim(S)= dim(N(A))= n-r=4-1=3$
根据$S$即为$A = [1\quad 1\quad 1\quad 1]$的零空间这个关系，我们很容易得到空间$S$的一组基：
$C(A) = R^1,N(A^T) = \{0\}$
11.3 小世界图
$Graph = \{nodes, edges\}$
六度分离猜想（Six Degrees of Separation）：“你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过五个，也就是说，最多通过五个人你就能够认识任何一个陌生人。”根据这个理论，你和世界上的任何一个人之间只隔着五个人，不管对方在哪个国家，属哪类人种，是哪种肤色。
具体图的内容在下一节中展开。